Cần giúp gấp gấp lắm, chi tiết luôn.

Question

Trong không gian $Oxyz,$ cho $\Delta ABC$ có $A\left(1;\,0;\,-1\right),\,B\left(2;\,1;\,-1\right),\,C\left(3;\,1;\,2\right)$ và trực tâm $H\left(x;\,y;\,z\right).$ Tìm tọa độ của $H?$
________________________________________________________________________

Em thì chỉ mới học được bài đầu tiên của SGK Hình học 12 - CB tức là bài $\fbox{Hệ tọa độ trong không gian}$ tức là chỉ nói về các vecto, góc, khoảng cách chứ chưa học gì đến phương trình đường thẳng hay phương trình mặt phẳng đâu, nên mọi người giúp em với, em mới chỉ tìm được có hai phương trình thôi ạ.
Tọa độ $H$ là trực tâm $\Delta ABC\Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow{AH}\times\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{BH}\times\overrightarrow{AC}=0 \end{cases}$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 1/7/2014 9:29:46 PM

Ý tưởng của em xuất phát đúng rồi. Nhưng cần tìm thêm điều kiện $H \in mp(ABC)$. Để có thêm 1 phương trình nữa với các ẩn $x,y,z$ là toạ độ của $H$ em có thể viết PT mp$(ABC)$ và cho $H$ nằm trên mp này.

Cụ thể tìm VTPT của mp $(ABC)$ bằng cách tính tích có hướng của

$\left[ {\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}} \right]=(3,-3,-1).$

Lúc này mp$(ABC): 3(x-1)-3(y-0)-1(z+1)=0\Leftrightarrow 3x-3y-z=4$

Thêm hệ PT để $H$ là trực tâm

$\Leftrightarrow \begin{cases}\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}=0\\ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}(x-3).1+(y-1).1+(z-2).0=0 \\ (x-2).2+(y-1).1+(z+1).3=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x+y=4 \\2x+y+3z=2 \end{cases}$.

Tóm lại

$ \begin{cases}3x-3y-z=4\\x+y=4 \\2x+y+3z=2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{46}{19} \\ y=\frac{30}{19}\\z=-\frac{28}{19} \end{cases}$.