Phương trình nghiệm nguyên:

Question

Giải phương trình nghiệm nguyên:

$a)x^2-y^3=7$

$b)x!+y!=(x+y)!$

score 1 · Answer 1

x² - y³ = 7 <=> x² - 1 = 6 + y³

Bài này sử dụng 2 t/c sau:
☻ (x² + y²) chia hết cho số nguyên tố p = (4m + 3) thì x² chia hết cho p và y² chia hết cho p
☻ số nguyên có dạng n = 4k + 3 sẽ có ít nhất 1 ước số là 1 số nguyên tố có dạng p = (4m + 3)

♥ Do 7 là số lẻ => x² chẳn thì y³ lẻ và ngược lại
=> x chẳn thì y lẻ và ngược lại.

♫ Trường hợp x lẻ và y chẳn

♣ Xét (x² - 1) .
Do x lẻ nên Đặt x = (2k + 1)
=> (x² - 1) = (2k + 1)² - 1 = 4k(k + 1) luôn chia hết cho 8
tức (x² - 1) chi hết cho 8 ( viết kiểu khác x² ≡ 1 (mo8) ) (1)

♣ Xét 6 + y³ .
Do y chẳn nên Đặt y = 2k
=> y³ = (2k)³ = 8k³ luôn chia hết cho 8
=> 6 + y³ = 8k³ + 6 không chia 8 (2)

Từ (1) và (2) => x² - 1 ≠ 6 + y³

♫ Trường hợp x chẳn và y lẻ
x² - y³ = 7 <=> x² + 1 = 8 + y³ = (y + 2)(y² - 2y + 4)

♣ Xét x² + 1 = x² + 1²
Theo t/c 1 ở trên cùng thì (x² + 1²) có ước số là 1 số nguyên tố dạng p = (4m + 3) thì :
- x² chia hết cho p
- 1² chia hết cho p mà 1² phải chia hết cho p = (4m + 3)
=> không có ước số là số nguyên tố dạng p = (4m + 3) (*)

♣ Xét (y + 2)(y² - 2y + 4)
Do y lẻ :
- Đặt y = 2k + 1 => (y² - 2y + 4) = (y - 1)² + 1 = (2k)² + 3 = 4k + 3
=> (4k + 3) là ước số của (y + 2)(y² - 2y + 4)

Theo t/c 2 ở trên cùng thì (4k + 3) luôn có ước số là số nguyên tố có dạng p = (4m + 3)
=> p cũng là ước số của (y + 2)(y² - 2y + 4) (**)

Từ (*) và (**)
=> x² + 1 ≠ (y + 2)(y² - 2y + 4)

Vậy : phương trình x² - y³ = 7 không có nghiệm nguyên