Bài 101987

Question

Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện: $\cos2A + \cos2B + \cos2C \ge - 1$

Chứng minh rằng: $\sin A + \sin B + \sin C \le 1 + \sqrt 2 $

score 0 · Answer 1

Áp dụng công thức $c{\rm{os}}2A + c{\rm{os}}2B + c{\rm{os}}2C = - 4\cos A\cos B\cos C - 1$,do đó
     $c{\rm{os}}2A + c{\rm{os}}2B + c{\rm{os}}2C \ge - 1 \Leftrightarrow \cos A\cos B\cos C < 0           (1)$
Do trong mọi tam giác $ABC$ có tối đa $1$ góc tù, nên từ $(1)$ suy ra $ABC$ là tam giác không nhọn
Do vai trò bình đẳng của $A,B,C$,giả sử $\pi \ge A \ge \frac{\pi }{2}$
Từ đó ta có
$\begin{array}{l}
\end{array}$
$\frac{\pi }{4} \le \frac{A}{2} \le \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos A \le \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
Lại thấy :$\sin A + \sin B + \sin C = \sin A + 2\sin \frac{{B + C}}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2} \le \sin A + 2\cos \frac{A}{2} \le 1 + \sqrt 2 $
Đó là $dpcm$.Dấu $“=”$ xảy ra khi tam giác đã cho là tam giác vuông cân
Nhận xét :
$1/$ Vì $c{\rm{os}}2A + c{\rm{os}}2B + c{\rm{os}}2C \ge - 1$ là tam giác không nhọn
Do vậy có vô số tam giác ABC thỏa mãn hệ thức\[c{\rm{os}}2A + c{\rm{os}}2B + c{\rm{os}}2C \ge - 1\]
2/ Mệnh đề đảo chưa chắc đúng, tức \[\sin A + \sin B + \sin C \le 1 + \sqrt 2 \] thi không suy ra $c{\rm{os}}2A + c{\rm{os}}2B + c{\rm{os}}2C \ge - 1$
Thật vậy xét tam giác cân ABC $(B=C)$ Khi đó
    $\sin A + \sin B + \sin C = \sin A + 2\sin \frac{{B + C}}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2} = \sin A + 2\cos \frac{A}{2}$
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 2c{\rm{os}}\frac{x}{2}) = 2,$ vì do $2 < 1 + \sqrt 2 $ nên tồn tại ${x_1}$ đủ bé sao cho ${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}{{\rm{x}}_1} + 2\cos \frac{{{x_1}}}{2} < 1 + \sqrt 2 $
Tam giác ${A_1}{B_1}{C_1}$ với $A = {x_1}$ và $B = C = \frac{\pi }{2} - \frac{{{x_1}}}{2}$ là tam giác thỏa mãn :
              $\sin 2{A_1} + \sin 2{B_1} + \sin 2{C_1} < 1 + \sqrt 2 $
Vì ${A_1},{B_1},{C_1}$ nhọn nên theo nhận xét trên ta có $c{\rm{os}}2{A_1} + c{\rm{os}}2{B_1} + c{\rm{os}}2{C_1} <- 1$
Mâu thuẫn với $c{\rm{os}}2A + c{\rm{os}}2B + c{\rm{os}}2C \ge - 1$ nên nhận xét $2$ được chứng minh
$3/$ Xin lưu ý rằng:
Tam giác $ABC$ không nhọn $ \Leftrightarrow tanA + tanB + tanC < 0$
( điều này suy ra từ hệ thức trong mọi tam giác không vuông thì $tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC$).

Bài 101987

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101987

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan