Bài 102942

Question

Tùy theo các giá trị của $a$, giải và biện luận phương trình : $\left[ {1 + {{\left( {a + 2}
\right)}^2}}\right]{\log _3}\left( {2x - {x^2}} \right) +\left[ {1 + {{\left( {3a - 1} \right)}^2}}
\right]{\log _{11}}\left( {1 -\frac{{{x^2}}}{2}}\right) $
$= {\log _3}\left( {2x - {x^2}} \right) +
{\log _{11}}\left( {1-\frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left( 1 \right)$

score 0 · Answer 1

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
2x - {x^2} > 0\\
1 - \frac{{{x^2}}}{2} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < x < 2\\
- \sqrt 2 < x < \sqrt 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < \sqrt 2 $
Ta có:
$\begin{array}{l}
2x - {x^2} = 2x - {x^2} - 1 + 1 = 1 - {\left( {x - 1} \right)^2} \le 1\\
\Rightarrow {\log _3}\left( {2x - {x^2}} \right) \le 0\\
1 + {\left( {a + 2} \right)^2} \ge 1\\
\Rightarrow \left[ {1 + {{\left( {a + 2} \right)}^2}} \right]{\log _3}\left( {2x - {x^2}} \right) \le
{\log _3}\left( {2x - {x^2}} \right) \left( 2 \right)
\end{array}$
Tương tự : $\left[ {1 + {{\left( {3a - 1} \right)}^2}} \right]{\log _{11}}\left( {1 -
\frac{{{x^2}}}{2}} \right) \le {\log _{11}}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)    \left( 3 \right)$
Cộng ($1$) và ($2$) theo vế ta có: vế trái của ($1$) $ \le $vế phải của ($1$)
Phương trình ($1$) luôn thỏa mãn khi các dấu bằng ở ($2$) và ($3$) xảy ra:
($1$)    xảy ra dấu $=$ khi và chỉ khi
$\left[ \begin{array}{l}
{\log _3}\left( {2x - {x^2}} \right) = 0\\
1 + {\left( {a + 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow a = - 2
\end{array} \right.$
($2$)    xảy ra dấu = khi và chỉ khi $\left[ \begin{array}{l}
1 + {\left( {3a - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{3}\\
{\log _{11}}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{2}} \right) = 0
\end{array} \right.$
($1$)    và ($3$) $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\
{\log _{11}}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{2}} \right) = 0
\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{3}\\
{\log _3}\left( {2x - {x^2}} \right) = 0
\end{array} \right.$
Chú ý rằng các hệ $\left\{ \begin{array}{l}
a = - 2\\
a = \frac{1}{3}
\end{array} \right. ; va \,\left\{ \begin{array}{l}
{\log _3}\left( {2x - {x^2}} \right) = 0\\
{\log _{11}}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{2}} \right) = 0
\end{array} \right.$ đều vô nghiệm.
    Ta có: ${\log _{11}}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 1 -
\frac{{{x^2}}}{2} = 1 \Leftrightarrow x = 0$ (loại)
        ${\log _3}\left( {2x - {x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - {x^2} = 3
\Leftrightarrow x = 1$
Kết luận: $a \ne \frac{1}{3}$: phương trình vô nghiệm
        $a = \frac{1}{3}$: phương trình có $1$ nghiệm $x = 1$.

Bài 102942

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102942

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan