Bài 106545

Question

Trong không gian $Oxyz$ cho bốn điểm $A(2a;0;0) C(0;2a;0) D(0;0;2a) B(2a;2a;0) (a > 0)$
$1.$ Gọi $E$ là trung điểm đoạn $BD$. Hãy tìm tọa độ giao điểm $F$ của đoạn thẳng $OE$ (trong đó $O$ là gốc tọa độ) với mặt phẳng ($ACD)$
$2.$ Tính thể tích của hình chóp $D.OABC$
$3.$ Tìm tọa độ điểm $O_1$ đối xứng với điểm $O$ qua đường thẳng $BD.$

score 0 · Answer 1

$1.$ Vì $E$ là trung điểm của $BD$ nên $E=(a,a,a)$
- Do $A(2a,0,0); C(0,2a,0); D(0,0,2a)$ nên $mp(ACD)$ có phương trình :
$\frac{x}{2a} +\frac{y}{2a} +\frac{z}{2a} =1\Leftrightarrow x=y+z-2a=0$
- Đường thẳng $OE $có phương trình $\frac{x}{a} =\frac{y}{a} =\frac{z}{a} =t$
$\Rightarrow $tọa độ điểm $F$ là giao diểm của $OE$ và $mp(ACD)$ là nghiệm của hệ phương trình
$\begin{cases}x=at \\ y=at\\z=at\\x+y+z-2a=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{2}{3}a \\ y=\frac{2}{3}a \\z=\frac{2}{3}a\\t=\frac{2}{3} \end{cases}\Rightarrow F(\frac{2}{3}a;\frac{2}{3}a ;\frac{2}{3}a ) $
- Ta cần phải chứng minh $F$ thuộc đoạn $OE$
Ta có : $\overrightarrow {FO} =(-\frac{2}{3}a ;-\frac{2}{3}a ;-\frac{2}{3}a ), \overrightarrow {FE} =(\frac{1}{3}a ;\frac{1}{3}a ;\frac{1}{3}a ) \Rightarrow \overrightarrow {FE} =-\frac{1}{2} \overrightarrow {FO} $
$\Rightarrow F$ nằm giữa $E$ và $O$
$\Rightarrow F$ thuộc đoạn $OE$
Vậy giao diêm của đoạn $OE$ và $(ACD)$ là : $F(\frac{2}{3}a ;\frac{2}{3}a ;\frac{2}{3}a )$
$2.$ Ta có $O,A,B,C$ cùng thuộc $mp(Oxy),D\in Oz\Rightarrow OD\bot (OABC)$
$\Rightarrow V_{V.OABC}=\frac{1}{3} S_{OABC}.OD=\frac{1}{3} .4a^2.2a=\frac{8}{3} a^3$ (đvtt)
$3.$ Ta có $\overrightarrow {DB} =(2a;2a;-2a)//(1,1,-1)$
Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $O$ và vuông góc với $BD$ có dạng : $x+y-z=0$
Đường thẳng $BD$ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow {DB} =(1,1,-1)$ và đi qua $D(0,0,2a)$ nên có phương trình là : $\begin{cases}x=t \\ y=t\\z=-t+2a \end{cases} $
Tọa độ điểm $H$ là giao điểm của $BD$ và $(\alpha)$ thỏa mãn hệ phương trình
$\begin{cases}x=t \\ y=t\\z=-t+2a\\x+y-z=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{2}{3}a \\ y=\frac{2}{3}a \\z=\frac{4}{3}a \\t=\frac{2}{3}a \end{cases} \Leftrightarrow H(\frac{2}{3}a ,\frac{2}{3}a ,\frac{2}{3}a )$
Ta có $H$ là trung điểm của $OO_1$ nên ta có:
$O_1=(\frac{4}{3}a ;\frac{4}{3}a ;\frac{8}{3}a )$

Bài 106545

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106545

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan