Phương trình đã cho tương đương với:
$\sqrt{2(1+\sqrt{1-x^2})}[\sqrt{(x+1)^3}-\sqrt{(1-x)^3}]=5x$
Đặt: $\sqrt{1+x}=a$, $\sqrt{1-x}=b |a,b \ge 0$
Dễ thấy: $\frac{a^2-b^2}{2}=x$
$a^2+b^2=2$
Suy ra:
$\sqrt{2(1+ab)}(a^3-b^3)=\frac{5(a^2-b^2)}{2}$
$(a-b)[\sqrt{2(1+ab)}(a^2+ab+b^2)-\frac{5(a+b)}{2}]=0$
+) $a=b$, bạn tự giải tiếp nhé
+) $\sqrt{2(1+ab)}(a^2+ab+b^2)=\frac{5(a+b)}{2}$
Ta có: $\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=\sqrt{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^2}=\sqrt{2+2\sqrt{1-x^2}}$
$\Rightarrow \sqrt{2(1+\sqrt{1-x^2})}(2+\sqrt{1-x^2})=\frac{5.\sqrt{2+2\sqrt{1-x^2}}}{2}$
$2 .\sqrt{1+ \sqrt{1-x^2} } . (2+ \sqrt{1-x^2})= 5.\sqrt{1+.\sqrt{1-x^2}}$
Đặt $y=\sqrt{1+ \sqrt{1-x^2}}$
Ta có: $2y(1+y^2)=5y$
-Đến đây mọi việc đã trở nên dễ dàng, bạn có thể tự giải quyết. /

Với điều kiện $a_{1},a_{2},...,a_{n}  \ge 1$, ta sẽ chứng minh:

$f(a_{1})+f(a_{2})+...+f(a_{n}) \ge nf(\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}....a_{n}})$

Với $n=2$, bất đẳng thức đúng.

-Giả sử bdt đúng với $n+1$ số $a_{1},a_{2},...,a_{n+1}$, ta có:

$f(a_{1})+f(a_{2})+...+f(a_{n+1}) \ge (n+1)f(\sqrt[n+1]{a_{1}.a_{2}....a_{n+1}})$

Lấy $a_{n+1}=a=\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}...a_{n}}$ , suy ra:

$f(a_{1})+f(a_{2})+...+f(a_{n})+f(a) \ge (n+1)f(a)$

$\Rightarrow f(a_{1})+f(a_{2})+...+f(a_{n}) \ge nf(a)=nf(\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}...a_{n}})$.

-Hai bất đẳng thức trên là trường hợp nhỏ của bất đẳng thức này. $\blacksquare$

Điều kiện: $x \ge 1$
$[\sqrt{x^2+5}- (x+1)]+[\sqrt{x-1}-(x-1)]=x^2-2x$
$\frac{-2x+4}{\sqrt{x^2+5}+x+1}+\frac{-x^2+3x-2}{\sqrt{x-1}+x-1}=x^2-2x$
$(x-2)[\frac{2}{\sqrt{x^2+5}+x+1}+ \frac{x-1}{ \sqrt{x-1}+x-1}+x]=0$
Với $x \ge 1$, ta có:
$\frac{2}{\sqrt{x^2+5}+x+1} + \frac{x-1}{ \sqrt{x-1}+x-1}+x >0$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$ $\blacksquare$

Ta có thể biến đổi tương đương bài này như sau:
$ 3(x^2-2x+4)+11\sqrt{x^2-2x+4}-6\sqrt{x^2-2x+4}-22=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x^2-2x+4}-2)(3\sqrt{x^2-2x+4}+11)=0$
Đến đây việc giải pt đã trở nên dễ dàng hơn rất nhiều!

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$3(a^4+b^4+c^4)+(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)  \ge 2(a^2+b^2+c^2)$
 $\Leftrightarrow (a-b)^2[\frac{a^2}{2}+2ab]+(b-c)^2[\frac{b^2}{2}+2bc]+(c-a)^2[\frac{c^2}{2}+2ca] \ge0$
 Bài toán được chứng minh. $\blacksquare$

Xác định hệ số của $x^5y^3z^6t^6$ trong khai triển : $(x+y+z+t)^{20}$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết