|
|
$1$. Điều kiện \(x \ge 2;y \ge 2\)
Khi đó hệ tương đương \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y - 1 + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {y - 2} \right)} = m\left( 1 \right)\\
x + y - 1 + 2\sqrt {\left( {y + 1} \right)\left( {x - 2} \right)} = m\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
Trừ
$(1)$ cho $(2)$, vế với vế ta được: \(\sqrt {\left( {x + 1}
\right)\left( {y - 2} \right)} = \sqrt {\left( {y + 1} \right)\left( {x
- 2} \right)} \Leftrightarrow x = y\)
Khi đó hệ trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}
x = y\\
\sqrt {x + 1} + \sqrt {x - 2} = \sqrt m \left( 3 \right)
\end{array} \right.\)
Khi $m = 9$ thì $(3)$ có nghiệm $x = 3$ \( \Rightarrow y = 3\)
Vậy khi $m = 9$ thì hệ có nghiệm $(3, 3)$
$2$.
Đặt \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} + \sqrt {x - 2} \), khi đó
\(f\left( x \right) \ge \sqrt 3 ,\forall x \ge 2\) và \(f\left( 2
\right) = \sqrt 3 \)
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {x
+ 1} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x - 2} }} > 0,\forall x \ge 2
\Rightarrow f\left( x \right)\) tăng trên \(\left[ {2; + \infty }
\right]\)
Do đó phương trình \(\sqrt m = f\left( x \right)\) có
nghiệm \( \Leftrightarrow \sqrt m \ge f\left( 2 \right) = \sqrt 3
\Leftrightarrow m \ge 3\)
|