bất phương trình

Question

Tìm tất cả

$m$ sao cho

$\cos 2x+m\cos x+4 \geq 0, \forall x \in (0^0;180^0)$

score 5 · Answer 1

Viết lại

$\cos 2x+m\cos x+4 \geq 0 \Leftrightarrow 2\cos^2 x+m\cos x+3 \geq 0$
Đặt

$t=\cos x, |t| \leq 1$ , Bất phương trình

$(1)$ trở thành

$2t^2+mt+3 \geq 0$
Bất phương trình

$(1)$ nghiệm

$\forall x \in R \Leftrightarrow f(t)=2t^2+mt+3 \geq 0, \forall t \in [-1;1]$
Điều đó có khi và chỉ khi

$m$ nghiệm một trong hai trường hợp sau
* Trường hợp 1:

$\Delta \leq 0 \Leftrightarrow m^2-24 \leq 0 \Leftrightarrow |m| \leq \sqrt{24} (2)$
* Trường hợp 2:

$\begin{cases}\Delta>0 \\ f(\pm 1) \geq 0 \\ (\frac{S}{2}+1)(\frac{S}{2}-1)>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}|m|>\sqrt{24} \\ 5\pm m \geq 0 \\ S^2-4>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}|m|>\sqrt{24} \\ |m|\leq 5 \\ m^2-16>0 \end{cases} \Leftrightarrow \sqrt{24} <|m| \leq 5 (3)$
Từ

$(2)$ và

$(3)$ ta có:

$|m| \leq 5$ là tập hợp các giá trị phải tìm của

$m$