Một bài toán về Mệnh đề ạ :)

Question

Chưng minh rằng không thể có hai số nguyên m , n để đẳng thức sau được thỏa măn:

$2m^{2} + n^{2} = 2007$ .

score 5 · Answer 1

Giả sử có hai số nguyên

$m$ ,

$n$ để:

$2m^2 + n^2 = 2007$ (*)
Vì

$2m^2$ là số chẵn, ta suy ra

$n^2$ phải là số lẻ hay

$n$ phải là số lẻ,

$n = 2a + 1$ (

$a \in \mathbb{Z}$ ).
(*)

$\Leftrightarrow 2m^2 + (2a + 1)^2 = 2007 \Rightarrow 2m^2 + 4a^2 + 4a + 1 = 2007$

$\Rightarrow 2m^2 + 4a^2 + 4a = 2006$
Vì

$4a^2 + 4a$ chia hết cho

$4$ và

$2006$ không chia hết cho 4.
Suy ra

$2m^2$ không chia hết cho

$4$ hay

$m^2$ không chia hết cho

$2 \Rightarrow$

$m^2$ là số lẻ. Đặt

$m = 2b + 1$ , ta có:

$2(2b + 1)^2 + 4a(a+1) = 2006$

$\Rightarrow 8b^2 + 8b +2 + 4(a + 1)a = 2006$

$\Rightarrow 8b(b + 1) + 4a(a + 1) = 2004$ .
Dễ thấy

$8b(b+1)$ chia hết cho

$8; 4a(a + 1)$ cũng chia hết cho

$8$ còn

$2004$ không chia hết cho

$8$ . Mâu thuẫn này cho ta đpcm.

1 Đáp án