Trước hết ta phân tích mẫu thành các nhân tử
$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$
$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$
$x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$
$x^2+9x+20=(x+4)(x+5)$.
Áp dụng hệ thức : $\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} $. Ta có lời giải như sau:
Điều kiện xác định: $x \neq -1; x \neq -2; x \neq -3; x \neq -4; x \neq -5$. Bất phương trình được đưa về:
$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x+4}-
\frac{1}{x+5} <-1 $
$\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+5}<-1 $
$\Leftrightarrow\frac{(x+5)-(x+1)+(x+1)(x+5)}{(x+1)(x+5)}
<0\Leftrightarrow\frac{x^2+6x+9}{(x+1)(x+5)}<0 \Leftrightarrow
\frac{(x+3)^2}{(x+1)(x+5)}<0$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 3 \\
(x+1)(x+5)<0 \end{cases}$
Kết quả: $-5<x<-1; x \neq -3$.