Tìm các số tự nhiên

Question

Viết các số tự nhiên từ $1$ đến $10$ thành hàng ngang theo một thứ tự tùy ý, tiếp đó cộng mỗi một số trong các số đã cho với số thứ tự chỉ vị trí nó đứng (tính từ trái sang phải). Chứng minh rằng ít nhất cũng có hai tổng mà chữ số tận cùng của hai tổng đó như nhau.

Có lẽ là bài toán này sẽ còn có nhiều người giải đấy.
Em không đủ tiền nên em không thể treo thưởng được

Thu Hằng · Answer 1 · 7/19/2012 11:09:35 AM

Gọi $10$ số tự nhiên từ $1$ đến $10$ viết theo thứ tự từ trái sang phải là $a_1, a_2, ...., a_{10}$. Ta lập dãy mới $b_1, b_2, ...., b_{10} $ với:
$b_1 = a_1 + 1; b_2 = a_2 + 2; ...; b_{10} = a_{10} + 10$.
$b_i$ là tổng của $a_i$ với vị trí thứ $i$ mà nó đứng $(i = 1, 2, ..., 10)$.
Ta có:
$b_1 + b_2 + ... b_{10} = a_1 + a_2 + ... + a_{10} + 1 + 2 + ... + 10 = 2 (1 + 2 + ... + 10) = 110$
Vì $110$ là số chẵn nên không xảy ra trường hợp có $5$ số $b_i$ nào đó lẻ và $5$ số $b_j$ nào đó chẵn, hay nói cách khác số các $b_i$ chẵn và số các $b_j$ lẻ phải khác nhau. Do đó số các $b_i$ lẻ lớn hơn $5$ hoặc số các $b_j$ chẵn lớn hơn $5$. Mà từ $1$ đến $10$ chỉ có $5$ vị trí lẻ và $5$ vị trí chẵn nên theo nguyên tắc Dirichlet phải có ít nhất hai số $b_i$ lẻ có chữ số tận cùng như nhau hoặc có hai số $b_j$ chẵn có chữ số cùng như nhau.

score 6 · Answer 2

Gọi $10$ số tự nhiên từ $1$ đến $10$ viết theo thứ tự từ trái sang phải là $a_1, a_2, ...., a_{10}$. Ta lập dãy mới $b_1, b_2, ...., b_{10} $ với:
$b_1 = a_1 + 1; b_2 = a_2 + 2; ...; b_{10} = a_{10} + 10$.
$b_i$ là tổng của $a_i$ với vị trí thứ $i$ mà nó đứng $(i = 1, 2, ..., 10)$.
Ta có:
$b_1 + b_2 + ... b_{10} = a_1 + a_2 + ... + a_{10} + 1 + 2 + ... + 10 = 2 (1 + 2 + ... + 10) = 110$
Vì $110$ là số chẵn nên không xảy ra trường hợp có $5$ số $b_i$ nào đó lẻ và $5$ số $b_j$ nào đó chẵn, hay nói cách khác số các $b_i$ chẵn và số các $b_j$ lẻ phải khác nhau. Do đó số các $b_i$ lẻ lớn hơn $5$ hoặc số các $b_j$ chẵn lớn hơn $5$. Mà từ $1$ đến $10$ chỉ có $5$ vị trí lẻ và $5$ vị trí chẵn nên theo nguyên tắc Dirichlet phải có ít nhất hai số $b_i$ lẻ có chữ số tận cùng như nhau hoặc có hai số $b_j$ chẵn có chữ số cùng như nhau.