Ta sẽ chứng minh công thức đúng bằng phương pháp quy nạp :
Với $n=1 : y'=\cos x=\sin \left ( x+\frac{\pi}{2} \right )\Rightarrow $ công thức
đúng với $n=1$.
Giả sử công thức đúng với $n=k : y^{\displaystyle (k)}=\sin \left (
x+\frac{k\pi}{2} \right )$
Ta sẽ chứng minh công thức đúng với $n=k+1$
nghĩa là $y^{\displaystyle (k+1)}=\sin \left ( x+\frac{(k+1)\pi}{2}
\right )$
Thật vậy, áp dụng công thức tính đạo hàm cấp $n$ ta được :
$y^{\displaystyle (k+1)}(x)=\left[ {y^{\displaystyle (k)}(x)}
\right]^\prime=\left[ { \sin \left ( x+\frac{k\pi}{2} \right )}
\right]^\prime=\cos \left ( x+\frac{k\pi}{2} \right )=\sin \left (
x+\frac{(k+1)\pi}{2} \right )$.
Vậy $y^{\displaystyle (k+1)}=\sin \left ( x+\frac{(k+1)\pi}{2} \right )$ luôn
đúng.
Do đó : $y^{\displaystyle (n)}=\sin \left ( x+\frac{n\pi}{2} \right
)$ với $n \in \mathbb{N}$.
Các bài tập tương tự các bạn có thể theo dõi tại
http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113568/dao-ham-cap-cao