Điều kiện: $0\le x\le\sqrt2-1$
Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{\sqrt2-1-x}=u\\\sqrt[4]{x}=v \end{array} \right.$ với $\left\{ \begin{array}{l} 0\le u\le\sqrt{\sqrt2-1}\\ 0\le v\le \sqrt[4]{\sqrt2-1} \end{array} \right.$
Như vậy ta được hệ:
$\left\{ \begin{array}{l} u+v=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\\u^2+v^4=\sqrt2-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}-v\\ \Big(\frac{1}{\sqrt[4]{2}}-v\Big)^2+v^4=\sqrt2-1 (1) \end{array} \right.$
Giải $( 1)$:
$(1)\Leftrightarrow (v^2+1)^2-\Big(v+\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\Big)^2=0$
$\Leftrightarrow v^2-v+1-\frac{1}{\sqrt[4]{2}}=0\Leftrightarrow v=\frac{\displaystyle 1\pm\sqrt{\frac{4}{\sqrt[4]{2}}-3}}{2}$ (thỏa mãn)
Vậy: $x= \left(\frac{\displaystyle 1\pm\sqrt{\frac{4}{\sqrt[4]{2}}-3}}{2}\right)^4$