bài này mình chịu, xin các pro gjải

Question

Cho tứ diện SABC có các góc phẳng ở đỉnh S vuông.

1) Chứng minh rằng: $\sqrt{3}S_{\Delta ABC}\geq S_{\Delta SBC}+S_{\Delta SAB}+S_{\Delta SAC}$

2) Cho SA=a, SB+SC=k. Đặt SB=x. Tính thể tích tứ diện SABC theo a,k,x. Xác định SB,SC để $V_{SABC}$ lớn nhất.

score 3 · Answer 1

a) Ta có: $\sqrt{3}S_{ABC}\geq S_{SBC}+S_{SCA}+S_{SAB}.$
$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}S_{ABC}.SH}{SH}\geq \frac{S_{SBC}.SA}{SA}+\frac{S_{SCA}.SB}{SB}+\frac{S_{SAB}.SC}{SC}$.
$\Leftrightarrow \frac{3\sqrt{3}V}{h}\geq \frac{3V}{a}+\frac{3V}{b}+\frac{3V}{c}$.
$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{h}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.
Để chứng minh BĐT trên, ta sẽ tính $h$ trước.

Trong $(ABC)$ kẻ $AK$ vuông góc với $BC$. Khi đó $BC$ vuông góc với $AK$ và $SA$ nên vuông góc với $(SAK)$, suy ra $(ABC)$ vuông góc với $(SAK)$. Vì $SH$ vuông góc với $(ABC)$ nên $H\in AK$.
Ta có: $\frac{1}{SH^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{SK^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{SB^2}+\frac{1}{SC^2}$ hay:
$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{3}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) ^2$
Từ đó suy ra đpcm.

b) Ta có: $V_{SABC}=\frac{SA.SB.SC}{6}=\frac{ax(k-x)}{6}\leq \frac{ak^2}{24}$.
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $SB=SC=\frac{k}{2}$.