Giải hộ mionh2 bài bdt này!!!

Question

Cho a,b,c$\in \left[ {0;1} \right]$.CMR:
$2(a^{3}+b^{3}+c^{3})-(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\leq 3$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 11/15/2012 8:12:31 AM

Ta có
$ (1-a^2)(1-b) \ge 0\Leftrightarrow \ a^2 b \ge a^2 +b -1$
$ \Rightarrow a^2 b +b^2 c+c^2a \ge \sum{a^2} + \sum a -3 \ge \sum{a^3} + \sum a^3 -3=2\sum{a^3} -3$
Như vậy
Vế trái $=2 \sum{a^3} -(a^2 b +b^2 c+c^2a) \le 3$, đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c) \in \left\{ {(1,1,1); (1,1,0)} \right\}$ và các hoán vị của nó.

Trả lời 15-11-12 08:12 AM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

lời giải hay quá – babylionneu 16-11-12 10:15 PM

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 15-11-12 08:14 AM

score 2 · Answer 2

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

Ta có:
$2(a^3+b^3+c^3)-(a^2b+b^2c+c^2a)-3 \le 2(a^2+b^2+c^2)-(a^2b+b^2c+c^2a)-3$
$=(a^2+b^2+c^2)+a^2(1-b)+b^2(1-c)+c^2(1-a)-3$
$ \le a+b+c+a(1-b )+b(1-c)+c(1-a)-3$
$=-[(a-1)(b-1)+(b-1)(c-1)+(c-1)(a-1)] \le 0$
Vì vậy mà $ 2(a^3+b^3+c^3)-(a^2b+b^2c+c^2a) \le 3$
Đẳng thức $(a;b;c)=(1;1;1);(1;1;0)$ và các hoán vị

score 4 · Answer 3

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

Không mất tính tổng quát giả sử: $a=\max\{a,b,c\}$
Xét hàm:
$f(a)=2a^3-ba^2-c^2a+2(b^3+c^3)-b^2c$
$f'(a)=6a^2-2ab-c^2\ge0$
$\Rightarrow f(a)\le f(1)=2-b-c^2+2b^3+2c^3-2b^2c$
Xét hàm:
$g(b)=2b^3-cb^2-b+2c^3-c+2$
$g'(b)=6b^2-2bc-1$
Phương trình $g'(b)=0$ có 2 nghiệm: $b_1<0< b_2< 1$.
Lập bảng biến thiên, suy ra:
$g(b)\le \max\{g(0),g(1)\}=\max\{2c^3-c+2,2c^3-2c+3\}=2c^3-2c+3$ (do $0\le c\le 1$)
Ta có: $2c^3-2c+3=2c(c^2-1)+3\le 3$.
Suy ra: $2(a^3+b^3+c^3)-(a^2b+b^2c+c^2a)\le3$
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi: $(a,b,c)=(1,1,1)$