|
|
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$k>\left( 1+\frac{1}{k}\right)^{k-1}$
Nếu $k=2$ thì BĐT đúng.
Nếu $k>2$ thì $\left( 1+\frac{1}{k}\right)^{k-1}<\left( 1+\frac{1}{k}\right)^k$
Theo khai triển nhị thức Newton:
$\left( 1+\frac{1}{k}\right)^k=1+k.\frac{1}{k}+\sum_{i=2}^k{\frac{C_k^i}{k^i}}$.
Ta có $\frac{C_k^i}{k^i}=\frac{k!}{i!(k-i)!k^i}<\frac{1}{i!}<\frac{1}{i(i-1)}=\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i}$.
Do đó $\sum_{i=2}^k{\frac{C_k^i}{k^i}}<\sum_{i=1}^{k-1}{\left( \frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right)}=1-\frac{1}{k}<1$.
Từ đó suy ra $\left( 1+\frac{1}{k}\right)^k<3\leq k$. BĐT được chứng minh
|