Bài toán khó về thiết diện hình chóp. (*)

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, đáy lớn $BC=2a,\,AB=AD=a,\,\Delta SAD$ đều. Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M\in AB$ và song song với $SA,\,BC$. Mặt phẳng $(\alpha)$ cắt $CD,\,SC,\,SB$ lần lượt tại $N,\,P,\,Q.$
       a) Chứng minh $MNPQ$ là hình thang cân.
       b) $AM=x\,(0<x<a).$ Tính theo $a$ và $x$ diện tích $MNPQ.$
       c) Tìm quỹ tích giao điểm của $MQ$ với $ NP.$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 12/7/2012 12:32:58 AM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

+ Tính $PQ$
Ta có
$\dfrac{PQ}{BC}=\dfrac{SQ}{BS}=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{x}{a}\Rightarrow PQ =2x$

+Tính $MN$
Gọi $BD$ cắt $MN$ tại $I$.
do $\triangle ABD$ cân mà $IM \parallel AD$ nên $\triangle BMI$ cân suy ra $MI=BM=a-x$
ta có
$\dfrac{NI}{BC}=\dfrac{DN}{DC}=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{x}{a}\Rightarrow NI =2x$
Suy ra
$MN=MI+NI=a+x$

+ Tính khoảng cách $h$ giữa $MN, PQ.$
Ta có $MQ=MB=a-x$ nên
$h^2=MQ^2-\left ( \dfrac{MN-PQ}{2}\right )^2=(a-x)^2-\left ( \dfrac{a-x}{2}\right )^2\Rightarrow h=\sqrt 3.\dfrac{a-x}{2}$

Vậy
$S_{MNPQ}=\dfrac{1}{2}(MN+PQ).h=\dfrac{\sqrt 3(a-x)(a+3x)}{4}$ (đvdt).

Trả lời 07-12-12 12:32 AM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

chuẩn rồi đó – babylionneu 07-12-12 08:25 PM

GreenmjlkTea FeelingTea · Answer 2 · 12/7/2012 12:25:58 AM

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

a/PQ là giao tuyến của

(SBC) và

(α)⇒PQ∥BC

NM là giao tuyến của

(ABCD) và

(α)⇒NM∥BC
Suy ra

PQ∥NM nên

MNPQ là hình thang. (1)
Mặt khác, CN/ CD= NP/ SD= BM/BA= MQ/SA
Mà SA=SD dó $\Delta$SAD đều
=> MQ=NP(2)
(1)(2)=> MNPQ là hình thang cân

Trả lời 07-12-12 12:25 AM

GreenmjlkTea FeelingTea
1

277K 282K

GreenmjlkTea FeelingTea · Answer 3 · 12/7/2012 12:15:21 AM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

a)
$PQ$ là giao tuyến của $(SBC) $ và $(\alpha) \Rightarrow PQ \parallel BC$
$NM$ là giao tuyến của $(ABCD) $ và $(\alpha) \Rightarrow NM \parallel BC$
Suy ra $PQ \parallel NM$ nên $MNPQ$ là hình thang.
Mặt khác tương tự như trên ta cũng chứng minh được
$MQ \parallel SA, NP \parallel SD.$
Trong $\triangle SAB$ có $MQ \parallel SA\Rightarrow MQ < SA =AD < MN$ nên $MNPQ$ không thể là hình bình hành.
Mà theo tính chất đối xứng $MQ=NP$ suy ra $MNPQ$ là hình thang cân với đáy lớn $MN$.

lịch sử

Sửa 07-12-12 12:15 AM

GreenmjlkTea FeelingTea
1

277K 282K

Trả lời 07-12-12 12:06 AM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

lời giải hay quá – babylionneu 07-12-12 08:25 PM

:) Lần sau cứ " tiếng phổ thông" mà dùng thôi anh ah, không mọi người lại sợ :) – GreenmjlkTea FeelingTea 07-12-12 12:49 AM

Cũng k hẳn e ơi. Mình chỉ lấy trục đối xứng không phải là đường thẳng vuông góc thôi. Có vẻ hơi lạ 1 chút :) – Trần Nhật Tân 07-12-12 12:45 AM

:) Em nghĩ là nên làm tường minh 1 chút thôi. " Đối xứng lệch"- cụm từ đúng là em chưa nghe bao giờ luôn, hình như là không phổ biến, chỉ áp dụng cho HSG thôi thì phải! – GreenmjlkTea FeelingTea 07-12-12 12:43 AM

đối xứng lệch :) ok that's fine! bài đăng mới của em đã bổ sung hộ a ;) – Trần Nhật Tân 07-12-12 12:35 AM

Em chứng minh được điều đấy nhưng em không biết đây là tính chất đối xứng. Anh gọi nhầm tên thì phải – GreenmjlkTea FeelingTea 07-12-12 12:30 AM

em có thể chứng minh MQ : SA = NP : SD để có điều này. – Trần Nhật Tân 07-12-12 12:26 AM

@ Anh Tân: giải thích hộ em dòng cuối tính chất đối xứng ở đây là như thế nào đấy ạ! – GreenmjlkTea FeelingTea 07-12-12 12:18 AM