dãy số

Question

xét tính bị chặn của các dãy số sau
a, $u_{n}=\dfrac{2n-3}{3n+1}$

b, $\dfrac{n^{2}+5}{3n^{2}-2}$

c, $u_{n}=\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{2.4}+...+\dfrac{1}{n(n+2)}$

d ,$\dfrac{n-1}{\sqrt{n^{2}+2}}$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 12/30/2012 12:24:26 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

d) Ta sẽ chứng minh $\quad 0 \le u_n < 1 \quad \forall n \ge 1.$
Thật vậy
$0 \le u_n\Leftrightarrow 0 \le\dfrac{n-1}{\sqrt{n^{2}+2}} \Leftrightarrow 0 \le n-1\Leftrightarrow 1 \le n$, luôn đúng.
$u_n<1\Leftrightarrow\frac{n-1}{\sqrt{n^{2}+2}}<1\Leftrightarrow n-1 \le \sqrt{n^{2}+2}\Leftrightarrow n^2-2n+1 < n^2+2\Leftrightarrow 0<2n+1 $, luôn đúng.

Trả lời 30-12-12 12:24 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 30-12-12 12:25 PM

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 1/1/2013 9:48:58 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

c) Với mọi số tự nhiên $k$ thì ta biết $\quad\dfrac{2}{k(k+2)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+2}$
Do đó
$2u_n=\frac{2}{1.3}+\frac{2}{2.4}+...+\frac{2}{n(n+2)}=\left ( \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3} \right )+\left ( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4} \right )+\ldots+\left ( \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2} \right )$
$2u_n=\left (1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{n} \right )-\left (\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{n+2} \right )$
$2u_n=\left (1+\dfrac{1}{2} \right )-\left (\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2} \right )$
$2u_n=\dfrac{n (5+3 n)}{2 (1+n) (2+n)}$
$u_n=\dfrac{n (5+3 n)}{4 (1+n) (2+n)}$
Ta sẽ chứng minh $\dfrac{1}{4} <u_n < \dfrac{3}{4}$.
Thật vậy
$\dfrac{n (5+3 n)}{4 (1+n) (2+n)}< \dfrac{3}{4}\Leftrightarrow n (5+3 n) <3(1+n) (2+n)$
$\Leftrightarrow 3n^2+5n < 3n^2+9n+6\Leftrightarrow 0 < 4n+6$, luôn đúng.
$\dfrac{n (5+3 n)}{4 (1+n) (2+n)}>\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow n (5+3 n) >(1+n) (2+n)$
$\Leftrightarrow 3n^2+5n > n^2+3n+2\Leftrightarrow 2n^2+2n > 2$, luôn đúng.

lịch sử

Sửa 01-01-13 09:48 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trả lời 30-12-12 12:19 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 30-12-12 12:19 PM

Trần Nhật Tân · Answer 3 · 12/30/2012 12:06:44 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

b) Ta sẽ chứng minh $\quad \dfrac{1}{3}< u_n \le 6 \quad \forall n \ge 1.$
Thật vậy
$\dfrac{1}{3}< u_n\Leftrightarrow \dfrac{1}{3} <\dfrac{n^{2}+5}{3n^{2}-2} \Leftrightarrow 3n^2-2 <3n^2+15\Leftrightarrow -2 <15$, luôn đúng.
$u_n\le 6\Leftrightarrow \dfrac{n^{2}+5}{3n^{2}-2} \le 6\Leftrightarrow n^{2}+5 \le 18n^{2}-12\Leftrightarrow 17 \le 17n^2\Leftrightarrow 1 \le n^2$, luôn đúng.

Trả lời 30-12-12 12:06 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 30-12-12 12:19 PM

Trần Nhật Tân · Answer 4 · 12/30/2012 12:00:23 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

a) Ta sẽ chứng minh $\quad -\dfrac{1}{4} \le u_n < \dfrac{2}{3} \quad \forall n \ge 1.$
Thật vậy
$-\dfrac{1}{4} \le u_n\Leftrightarrow -\dfrac{1}{4} \le \dfrac{2n-3}{3n+1}\Leftrightarrow -(3n+1) \le 4(2n-3)\Leftrightarrow -3n-1 \le 8n-12\Leftrightarrow 11 \le 11n \Leftrightarrow 1 \le n$, luôn đúng.
$u_n< \dfrac{2}{3}\Leftrightarrow \dfrac{2n-3}{3n+1}< \dfrac{2}{3}\Leftrightarrow 3(2n-3) < 2(3n+1)\Leftrightarrow 6n-9 < 6n+2\Leftrightarrow -9 < 2$, luôn đúng.

Trả lời 30-12-12 12:00 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 30-12-12 12:00 PM

hanhphucnhe989 · Answer 5 · 1/1/2013 9:29:34 PM

a, Ta co $u_{n}=\frac{2n-3}{3n+1}\geq \frac{-1}{4}, \forall n\in N^{*}$

Lai co $u_{n}=\frac{2n-3}{3n+1}<\frac{2n-3}{3n}<\frac{2n}{3n}=\frac{2}{3}, \forall n\in N^{*}$

$\Rightarrow \frac{-1}{4}\leq u_{n}<\frac{2}{3}, \forall n\in N^{*} \Rightarrow u_{n}$ bi chan.

b, Ta co $u_{n}=\frac{n^{2}+5}{3n^{2}-2}\leq 6, \forall n\in N^{*}$

Lai co $u_{n}=\frac{n^{2}+5}{3n^{2}-2}>\frac{n^{2}}{3n^{2}-2}>\frac{n^{2}}{3n^2}>\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{1}{3}< u_{n} \leq 6, \forall n\in N^{*}\Rightarrow u_{n}$ bi chan.

d, Ta co $u_{n}=\frac{n-1}{\sqrt{n^{2}+1}}\geq 0, \forall n\in N^{*}$

Lai co $u_{n}=\frac{n-1}{\sqrt{n^{2}+1}}\leq \frac{n-1}{\sqrt{n^{2}}}=\frac{n-1}{n}=1-\frac{1}{n}<1$

$\Rightarrow 0\leq u_{n}<1, \forall n\in N^{*}\Rightarrow u_{n}$ bi chan.