phương trình đường tròn

Question

CMR: với mọi m hpt $\begin{cases}x^2 +y^2 +4x +2y -4= 0 \\ (m+1)x +my +2m +1= 0\end{cases}$ luôn có 2 nghiệm phân biệt. Xác định giá trị lớn nhất biểu thức $(x_{1}-x_{2})^{2} +(y_{1}-y_{2})^{2}$, trong đó (x1;y1),(x2;y2) là 2 nghiệm hệ phương trình trên

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 1/18/2013 11:02:14 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

PT thứ nhất có dạng $(x+2)^2+(y+1)^2=9$, đây là PT đường tròn $(C)$ tâm $I(-2,-1)$ bán kính $R=3.$
PT thứ hai là PT đường thẳng $(a)$ theo tham số $m$, và khoảng cách từ $I$ tới $(a)$ bằng
d$(I,(a))=\dfrac{\left| {-2(m+1)-m+2m+1} \right|}{\sqrt{(m+1)^2+m^2}}=\dfrac{\left| {m+1} \right|}{\sqrt{(m+1)^2+m^2}} < 3=R$
Dễ kiểm tra điều này vì $9(m+1)^2+9m^2 \ge (m+1)^2$ và dấu bằng thì không xảy ra.
Như vậy thì đường thẳng $(a)$ cắt đường tròn $(C)$ tại hai điểm phân biệt nên hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Biểu thức ta cần tìm giá trị lớn nhất chính là bình phương khoảng cách giữa hai giao điểm của $(a)$ và $(C)$. Và nó lớn nhất khi hai điểm này tạo thành một đường kính của $(C)$, hay $(a)$ phải đi qua gốc tọa độ $O(0,0)$.
Thay vào ta có $0.(m+1)+0.m+2m+1=0\Leftrightarrow m=-1/2.$

Trả lời 18-01-13 11:02 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

vote cho đáp án – congiola_ktqd 19-01-13 09:02 PM

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 18-01-13 11:03 PM