bất dẳng thức

Question

a,b,c>0 thỏa mẫn a+b+c=1.Chứng minh rằng:
a) $\frac{11a+9b}{a(a+b)}+\frac{11b+9c}{b(b+c)}+\frac{11c+9a}{c(c+a)}\geqslant 90 $
b) $\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geqslant 30 $

nhung · Answer 1 · 2/11/2016 5:39:15 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

a) Ta có
$\dfrac{11a+9b}{a(a+b)}=\dfrac{2a+9(a+b)}{a(a+b)}=\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{9}{a}$
Suy ra
$\dfrac{11a+9b}{a(a+b)}+\frac{11b+9c}{b(b+c)}+\dfrac{11c+9a}{c(c+a)} \ge 2\left (\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \right )+9\left (\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right )$
$\ge 2.\frac{9}{2(a+b+c)}+9.\frac{9}{a+b+c}=9+81=90$
Đẳng thức xảy ra $\iff a=b=c=1/3$.

lịch sử

Sửa 11-02-16 05:39 PM

nhung
1

17K 38K

Trả lời 30-01-13 01:23 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 30-01-13 01:23 PM

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 1/30/2013 12:10:14 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

b) Trước hết nhắc lại không chứng minh BĐT khá quen thuộc sau
$\dfrac{a_1^2}{b_1}+ \dfrac{a_2^2}{b_2}+ \ldots+ \dfrac{a_n^2}{b_n} \ge \dfrac{(a_1+a_2+\ldots+a_n)^2}{b_1+b_2+\ldots+b_n} $
Đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{a_1}{b_1}= \dfrac{a_2}{b_2}= \ldots= \dfrac{a_n}{b_n}$
Áp dụng
$\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca} \ge \dfrac{9}{ab+bc+ca}=\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{7}{ab+bc+ca} \quad (1)$
$\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca} \ge \dfrac{(1+1+1)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}= \dfrac{9}{(a+b+c)^2}=9\quad (2)$
$ab+bc+ca \le \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2= \dfrac{1}{3} \implies \dfrac{7}{ab+bc+ca} \ge 21\quad (3)$
cộng theo từng vế $(1),(2),(3)$ và rút gọn ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi $\iff a=b=c=1/3$

Trả lời 30-01-13 12:10 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 30-01-13 12:11 PM