$\frac{{1 + 3\sqrt x }}{{4x + \sqrt {2 + x} }} - 1 = 0$Điều kiện: $x \ge 0$ (Chú ý: $x \ge 0$ thì $x+2 \ge 0$ và $4x + \sqrt {2 + x} \ne 0$)
Với điều kiện $x \ge 0$, phương trình đã cho trở thành:
$\frac{{1 + 3\sqrt x }}{{4x + \sqrt {2 + x} }} = 1$
$\Leftrightarrow 1 + 3\sqrt x = 4x + \sqrt {2 + x} $
$\Leftrightarrow 1 - 4x = \sqrt {2 + x} - 3\sqrt x $
$\Leftrightarrow 1 - 4x=\frac{{(\sqrt {2 + x} - 3\sqrt x )(\sqrt {2 + x} + 3\sqrt x )}}{{(\sqrt {2 + x} + 3\sqrt x )}}$
$\Leftrightarrow 1 - 4x = \frac{{2 + x - 9x}}{{\sqrt {2 + x} + 3\sqrt x }}$
$\Leftrightarrow 1 - 4x = \frac{{2 - 8x}}{{\sqrt {2 + x} + 3\sqrt x }}$
$\Leftrightarrow (1 - 4x)(\sqrt {2 + x} + 3\sqrt x ) = 2(1 - 4x)$
$\Leftrightarrow 1 - 4x = 0$ hay $\sqrt {2 + x} + 3\sqrt x = 2$
$\Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$ hay $\sqrt {2 + x} + 3\sqrt x = 2$ (1)
$(1) \Leftrightarrow 2 + x + 9x + 6\sqrt {x(x + 2)} = 4$
$\Leftrightarrow 6\sqrt {x(x + 2)} = 2 - 10x$
$\Leftrightarrow 3\sqrt {x^2 + 2x} = 1 - 5x$
$\Leftrightarrow 9{x^2} + 18x = 1 - 10x + 25{x^2}$ với $x \le \frac{1}{5}$
$\Leftrightarrow 16{x^2} - 28x + 1 = 0$ với $x \le \frac{1}{5}$
$\Leftrightarrow x = \frac{{7 - 3\sqrt 5 }}{8}$ (nhận) hay $x = \frac{{7 + 3\sqrt 5 }}{8}$ (loại)
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $x = \frac{1}{4},x = \frac{{7 - 3\sqrt 5 }}{8}$