3) Do chỉ có duy nhất 1mp // với SC đó là mp(HAKI)=> thiết diện chóp S.ABCD là tứ diện (HAKI) => Ta sẽ xét diện tích của mp(HAKI) :)
Có $\begin{cases} BD \bot SA (Do SA \bot mp(ABCD)) \\ BD \bot AC (Do ABCD là hình vuông) \end{cases}$
=> $BD \bot mp(SAC) $
Có $\Delta$SAB = $\Delta$SAD (cgc)
=> SB = SD. (3)
Do $\Delta$SAD = $\Delta$SAB nên các đường cao hạ từ đỉnh góc vuông bằng nhau tức $AH = AK$
=> $\Delta$SAH = $\Delta$SAK (vì có cạnh huyền và góc vuông bằng nhau)
=> $SH=SK$. (4)
Từ (3)(4)
=> $\frac {SK}{SD}=\frac{SH}{SB}$
Theo định lí Talet đảo ta có:
$HK//BD$
Mà $BD \bot mp(SAC)$
=> $HK \bot mp(SAC)$
=> $HK \bot AI$
=> Ta gọi AI cắt HK tại M.
Trong $\Delta$ABC có $AC^2=AB^2+BC^2=a^2+a^2=2a^2$
=> $AC=a\sqrt{2}$
Trong $\Delta$ SAC có: $\frac {1}{AI^2}=\frac {1}{SA^2}+\frac {1}{AC^2}$
=> $\frac {1}{AI^2}=\frac {1}{a^2}+\frac {1}{2a^2}$$ = \frac {2+1}{2a^2}$
=> $AI= \frac {\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a$
Trong $\Delta$SAD có: $\frac {1}{AK^2}=\frac {1}{SA^2}+\frac {1}{AD^1}$
$\frac {1}{AK^2}=\frac {1}{a^2}+\frac {1}{a^2} =\frac {2}{a^2}$
=> $AK^2=\frac {a^2}{2}$
Trong $\Delta$ SAK có:
$AK^2+SK^2=SA^2$
$\frac {a^2}{2} +SK^2=a^2$
$SK = \frac {a}{\sqrt{2}}$
Trong $\Delta$SAD có:
$SD^2=SA^2+AD^2$
=> $SD^2=a^2+a^2=2a^2$
=> $SD=a\sqrt{2}$
Trong $\Delta$SBD có:
$\frac {SK}{SD}=\frac {HK}{BD}$ (Talet)
=>$\frac {\frac {a}{\sqrt{2}}}{a\sqrt{2}}=\frac {HK}{a\sqrt{2}}$
=>$HK=\frac {a}{\sqrt{2}}$
Có $S_{HAKI}= S_{\Delta AHK} + S_{\Delta IHK}$
=> $S_{HAKI}= \frac {1}{2}AM.HK + \frac {1}{2}IM.HK$
=> $S_{HAKI}= \frac {1}{2}HK.(AM+IM)$
=> $S_{HAKI}= \frac {1}{2}HK.AI$
=> $S_{HAKI}= \frac {1}{2} \frac {a}{\sqrt{2}} \frac {\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a$
=> $S_{HAKI}= \frac {a^2}{2\sqrt{3}}$