Up lời giải này cho những bạn quan tâm tới bất đẳng thứcTrước hết ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ sau
$\sqrt[3]{4(x^3+y^3)}\geq x+y$
$\Leftrightarrow 4(x+y)(x^2-xy+y^2)\geq (x+y)^3$
$\Leftrightarrow 4(x^2-xy+y^2)\geq (x+y)^2$
$\Leftrightarrow 3(x-y)^2\geq 0$ Luôn đúng
Từ đó
$P\geq 2(x+y+z)+2(\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2})$
$=2((x+\frac{x}{y^2})+(y+\frac{y}{z^2})+(z+\frac{z}{x^2}))$
$\geq 2.2.(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})$ (Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số)
$\geq 12$ ( Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số )
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$