$I = \int\limits_0^\pi {\frac{{x(co{s^3}x + cosx + sinx)dx}}{{1 + co{s^2}x}}} = \int\limits_0^\pi {xcosx} dx + \int\limits_0^\pi {\frac{{xsinx}}{{1 + co{s^2}x}}} dx$* Tính ${I_1} = \int\limits_0^\pi {xcosx} dx$
Đặt $\begin{cases}u=x \\ dv=cosxdx \end{cases}$ ta tính được ${I_1} = - 2$.
* Tính ${I_2} = \int\limits_0^\pi {\frac{{xsinx}}{{1 + co{s^2}x}}} dx$
Đặt $t = \pi - x \Rightarrow {I_2} = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi {\frac{{\sin t}}{{1 + co{s^2}t}}} dt$
Đặt $\cos t = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{any}} \Rightarrow {I_2} = \frac{{{\pi ^2}}}{4}$
Vậy \[I = - 2 + \frac{{{\pi ^2}}}{4}\]