1. Để chứng minh f(x) là toàn ánh ta sẽ chứng minh f là đơn ánh và toàn ánhNếu bạn đã học đạo hàm thì làm như sau
f(x)=x2−6x+11⇒f′(x)=2x−6 luôn dương ∀x∈X=[4,7)
Suy ra f(x) là hàm tăng ngặt trong X
Một hàm tăng ngặt thì là đơn ánh , hơn nữa
f(4)=3,f(7)=18 nên f nhận mọi giá trị trong [3.18) nghĩa là f toàn ánh
Còn nếu bạn chưa học đạo hàm thì chứng minh f là hàm tăng ngặt như sau
Với x,y∈X=[4,7) x lớn hơn y
f(x)−f(y)=x2−6x−11−(y2−6y+11)=(x2−y2)−6(x−y)
=(x−y)(x+y−6) lớn hơn 0
vì x−y,x+y−6 đều dương
2. Tìm hàm ngược của f
f=x2−6x+11⇔f=(x−3)2+2⇔x−3=√f−2
Ở đây ta có thể lấy căn là vì x−3≥0,f−2≥0∀x∈X,f∈Y
⇔x=3+√f−2
Đây chính là hàm ngược của f