$y=x^3+6mx^2+9x+2m$$y'=3x^2+12mx+9=0$
$\Rightarrow \frac{y'}{3}=x^2+4mx+3=0$
Thực hiện phép chia đa thức ta có
$y=\frac{y'}{3}.(x+2m)+(6-8m^2)x-4m$
Tại hai điểm cực trị $M(x_1,y_1) , N(x_2,y_2) : y'(x_1)=y'(x_2)=0$
$\Rightarrow \begin{cases}y_1=(6-8m^2)x_1-4m \\ y_2=(6-8m^2)x_2-4m \end{cases}$
Vậy đường thẳng $MN$ có PT: $d:y+(8m^2-6)x+4m=0$
Khoảng cách từ $(0,0)$ đến $d$ là
$\frac{|4m|}{\sqrt{(8m^2-6)^2+1}}=\frac{4}{\sqrt5}$
$\Rightarrow 5m^2=(8m^2-6)^2+1=64m^4-96m^2+37$
$\Rightarrow 64m^4-101m^2+37=0$
$\Rightarrow (m^2-1)(64m^2-37)=0$
$\Rightarrow m=\pm1 , \pm\frac{\sqrt{37}}{8}$