Tìm GTNN của:

2. $y =x+1+\frac{4}{x-3} $ với $ x > 3$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi:

\[y = x + 1 + \frac{4}{{x - 3}} = x + 3 + \frac{4}{{x - 3}} - 2 \ge 2\sqrt {x + 3.\frac{4}{{x - 3}}}  - 2 \ge 2\]

Dấu bằng xảy ra \[ \Leftrightarrow x + 3 = \frac{4}{{x - 3}} \Leftrightarrow {(x - 3)^2} = 4 \Leftrightarrow x - 3 = 2 \vee x - 3 =  - 2 \Leftrightarrow x = 5 \vee x = 1\]

Do $x>3$ nên dấu bằng xảy ra khi $x=5$

1. $ y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x - 1} $ với $x > 1$

Áp dung bất đẳng thức Côsi:

\[y = \frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}} = \frac{{x - 1}}{2} + \frac{2}{{x - 1}} + \frac{1}{2} \ge 2\sqrt {\frac{{x - 1}}{2}.\frac{2}{{x - 1}}}  + \frac{1}{2} \ge 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\]

Dấu bằng xảy ra \[ \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{2} = \frac{2}{{x - 1}} \Leftrightarrow {(x - 1)^2} = 4 \Leftrightarrow x - 1 = 2 \vee x - 1 =  - 2 \Leftrightarrow x = 3 \vee x =  - 1\]

Do $x>1$ nên dấu bằng xảy ra khi $x=3$