Nhắc lại về một số khái niệm:
Lớp 11: Dãy số sau đây là cấp số nhân gồm vô hạn số: $1,x,x^2,x^3,\dots,x^n,\dots$
Công thức của tổng $n$ số hạng trong dãy trên
$S_n=1+x+\dots +x^n=\sum_{i=0}^{n}x^i=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$.
Đặt biệt khi $|x|<1$ thì $\lim_{n \to +\infty} x^{n+1}=0$. Do đó ta xây dựng được khái niệm chuỗi
$\sum_{i=0}^{+\infty}x^i=\lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\frac{1-0}{1-x}=\frac{1}{1-x}$.
Toán cao cấp: Tóm lại $\sum_{i=0}^{+\infty}x^i = \frac{1}{1-x}$ với $|x|<1$.
Áp dụng trong bài toán này
$\sum_{i=3}^{+\infty}\left ( \frac{1}{2} \right )^i = \sum_{i=0}^{+\infty}\left ( \frac{1}{2} \right )^i - \left ( \frac{1}{2} \right )^2-\left ( \frac{1}{2} \right )^1-\left ( \frac{1}{2} \right )^0 = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} - \frac{1}{4}-\frac{1}{2}-1=\frac14.$