Đăt $f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$ thì $f(x)$ là hàm luôn có giá trị lớn hơn $0$ và nghịch biến. Suy ra
$\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{1}{1+x^{2}}dx = \mathop {\lim }\limits_{t \to +\infty}\int\limits_{1}^{t}\frac{1}{1+x^{2}}dx= \mathop {\lim }\limits_{t \to +\infty} \left[ {\arctan x} \right]_{1}^{t}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$.
Suy ra $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{1+n^{2}}$ hội tụ.