Gọi $(Q)$ là mặt phảng chứa $A$ và $(\Delta)$.
Ta có: $B(-1;3;0),C(1;4;4)\in(\Delta)$
Vector pháp tuyến của $(Q)$ là: $\overrightarrow{u_Q}=[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}]=(6;12;-6)$
Vector pháp tuyến của $(\alpha)$ là: $\overrightarrow{u_{\alpha}}=(1;1;-2)$
Suy ra vector chỉ phương của $(d)$ là: $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{u_{\alpha}};\overrightarrow{u_Q}]=(-18;6;-6)$
Phương trình $(d)$ là: $\dfrac{x-1}{-18}=\dfrac{y-1}{6}=\dfrac{z+2}{-6} \Leftrightarrow \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+2}{1}$