$u_{n} = 3u_{n-1}+ 2^{n}\Rightarrow u_{n}+2.2^n = 3u_{n-1}+3. 2^{n}\Rightarrow u_{n}+2^{n+1} = 3(u_{n-1}+ 2^{n})$
Đặt $v_u = u_{n}+2^{n+1}$ thì ta có $v_n =3v_{n-1}$ và $v_1 =u_{1}+2^{1+1}=5$.
Như vậy $v_n$ là cấp số nhân có $v_1=5$ và công bội là $3$. Suy ra $v_n = 5.3^{n-1}$.
Vậy $u_n = v_n - 2^{n+1} = 5.3^{n-1}-2^{n+1}$, đpcm.