Áp dụng bdt $AM-GM$ cho 6 số :$\frac 13+\frac{5x^6}{x^6+y^6+z^6} \ge \frac{6x^5}{\sqrt[6]{3(x^6+y^6+z^6)^5}}$
Tương tự ta có: $\frac 13+\frac{5y^6}{x^6+y^6+z^6} \ge \frac{6y^5}{\sqrt[6]{(x^6+y^6+z^6)^5}}$
$ \qquad \qquad\qquad \frac 13+\frac{5z^6}{x^6+y^6+z^6} \ge \frac{6z^5}{\sqrt[6]{(x^6+y^6+z^6)^5}}$
Cộng 3 vế bdt trên
$\Rightarrow 1+5 \ge \frac{6(x^5+y^5+z^5)}{\sqrt[6]{3(x^6+y^6+z^6)^5}}\Leftrightarrow 3(x^6+y^6+z^6)^5 \ge (x^5+y^5+z^5)^6$
Mà $x^5+y^5+z^5=x^6+y^6+z^6=3$ nên dấu bằng xảy ra
Dấu bằng xảy ra của bđt là $x=y=z=1$
Và đó cũng là nghiệm của hệ phương trình