Help me!!!

Question

Cho $x,y,z>0$ chứng minh rằng:

$\sqrt[3]{(\frac{x}{y+z})^2}+\sqrt[3]{(\frac{y}{z+x})^2}+\sqrt[3]{(\frac{z}{x+y})^2}\geq \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$

hoaphonglan101 · Answer 1 · 8/25/2014 12:21:34 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Áp dụng BĐT Côsy ta có:

y+z2x+y+z2x+1≥3(y+z2x)2−−−−−−−−−√3

⇔x+y+zx≥3(y+z2x)2−−−−−−−−−√3

⇔(xy+z)2−−−−−−−−−√3≥34√3.xx+y+z

Tương tự:

(yx+z)2−−−−−−−−−√3≥34√3.yx+y+z;(zx+y)2−−−−−−−−−√3≥34√3.zx+y+z

Cộng 3 BĐT trên lại ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi:

x=y=z

Trả lời 25-08-14 12:21 PM

hoaphonglan101
58 1 3

208K 91K

Đức Vỹ · Answer 2 · 8/25/2014 12:28:26 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
$\frac{y+z}{2x}+\frac{y+z}{2x}+1\ge3\sqrt[3]{\left(\frac{y+z}{2x}\right)^2}$
$\Leftrightarrow \frac{x+y+z}{x}\ge 3\sqrt[3]{\left(\frac{y+z}{2x}\right)^2}$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{\left(\frac{x}{y+z}\right)^2}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{4}}.\frac{x}{x+y+z}$
Tương tự: $\sqrt[3]{\left(\frac{y}{x+z}\right)^2}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{4}}.\frac{y}{x+y+z};\sqrt[3]{\left(\frac{z}{x+y}\right)^2}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{4}}.\frac{z}{x+y+z}$
Cộng 3 BĐT trên lại ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z$

lịch sử

Sửa 25-08-14 12:28 PM

Đức Vỹ
36 1

137K 747K