Đề thi HSG(1)

Question

1,

a,Giải hệ phương trình:

$\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2\\ \frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}} =2\end{cases}$

b,Giải phương trình: $x=2005-2006(2005-2006x^2)^2$

2,
a, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $M=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}$

b,Cho $a^3+b^3+c^3=3abc$ với $a, b, c$ khác $0$ và $a+b+c$ khác $0$

Tính $P=(2008+\frac{a}{b})(2008+\frac{b}{c})(2008+\frac{c}{a})$

score 2 · Answer 1

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

2b, Ta có: $a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0 $

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$( vì $a+b+c\neq 0$)

$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0\Leftrightarrow a=b=c$

$\Rightarrow P=2009^3$

score 2 · Answer 2

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

2a, Nếu $x=0 $ thì $M=0$ giá trị này ko phả là giá trị lớn nhất . Vậy M đạt giá trị lớn nhất với $x \neq0$. Chia cả tử và mẫu cho x^2 ta được:

$M=\frac{1}{(x^2+\frac{1}{x^2})+1}$. M đạt giá trị lớn nhất khi $x^2+\frac{1}{x^2}$ nhỏ nhất.

$\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=2\Rightarrow x=\pm 1$. Vậy M lớn nhất bằng $\frac{1}{3}$ khi $x=\pm 1$

score 2 · Answer 3

Đặt $y=2005-2006x^2$. Phương trình trở thành:

$\begin{cases}x=2005-2006y^2 \\ y=2005-2006x^2 \end{cases}\Leftrightarrow x-y=2006(x^2-y^2)\Leftrightarrow \left[ {2006(x+y)-1} \right](x-y)=0$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=y\\ 2006(x+y)-1=0 \end{matrix}} \right.$

Với $x=y\Rightarrow x=2005-2006x^2\Leftrightarrow 2006x^2+x-2005=0\Rightarrow \left[ {\begin{matrix} x=-1\\ y=\frac{2005}{2006}\end{matrix}} \right. $

Với $2006(x+y)-1=0\Rightarrow x+y=\frac{1}{2006}\Rightarrow y=\frac{1}{2006}-x\Leftrightarrow \frac{1}{2006}-x=2005-2006x^2$

$\Leftrightarrow 2006^2x^2-2006x-2005.2006+1=0\rightarrow \left[ {\begin{matrix} x=\frac{1-\sqrt{1608817}}{4012}\\ y= \frac{1+\sqrt{1608817}}{4012}\end{matrix}} \right.$

score 2 · Answer 4

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

1,a, Đk $x\geq \frac{1}{2},y\geq \frac{1}{2}$ ta sữ chứng minh $x=y$. Thật vậy: $\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2$

$\Leftrightarrow \sqrt{2-\frac{1}{y}}=2-\frac{1}{\sqrt{x}}\Leftrightarrow 2-\frac{1}{y}=4-\frac{4}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{\sqrt{x}}-2 (1)$

Tương tự $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{\sqrt{y}}-2 (2)$. Từ $(1)$ và $(2)$ ta có: $\frac{4}{\sqrt{x}}-2=\frac{4}{\sqrt{y}}-2\Rightarrow x=y$

Ta có: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{\sqrt{x}}-2\Leftrightarrow \frac{2}{x}+2=\frac{2}{\sqrt{x}}\Leftrightarrow \frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}+1=0\Leftrightarrow (\frac{1}{x}-1)^2=0\Leftrightarrow x=1$

Vậy hệ có nghiệm $x=y=1$