Đề thi HSG(3)

Question

1,

a, Giải phương trình: $2006x^4+x^4\sqrt{x^2+2006}+x^2=2005.2006$

b, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}y^2=(x+8)(x^2+2)\\ 16x-8y+16=5x^2+4xy-y^2\end{cases}$

2,

Tìm $a,b,c$ biết $a,b,c$ là số dương và

$(\frac{1}{a^2}+1)(\frac{1}{b^2}+1)(\frac{1}{c^2}+1)=\frac{32}{abc}$

3,

a, Cho $0 \leq a, b, c \leq 1$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{b+a+1}+(1-a)(1-b)(1-c) \leq 1$

b, Cho 3 số $x, y, z$ thỏa mãn $x+y+z+xy+yz+zx=6$. Chứng minh rằng: $x^2+y^2+z^2 \geq 3$

score 3 · Answer 1

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

3b,Ta có: $x^2+y^2+z^2\geq 3\Leftrightarrow 3(x^2+y^2+z^2)\geq 9$

$\Leftrightarrow 3(x^2+y^2+z^2)\geq 2(x+y+z+xy+yz+zx)-3$

$\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2+(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\geq 0$ (luôn đúng)

score 3 · Answer 2

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

3a,Vai trò của $a,b,c$ là ngang nhau nên ta giả sử $a\leq b\leq c$

áp dụng bđt cauchy cho 3 số: $a+b+1,1-a,1-b$ ta có:

$(a+b+1)(1-a)(1-b)\leq (\frac{a+b+1+1-a+1-b}{3})^2=1\Rightarrow (1-a)(1-b)\leq \frac{1}{a+b+1}$

$\Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1-c}{a+b+1}$

Vì $a\leq b\leq c$ nên :

$\frac{a}{b+c+1}\leq \frac{a}{a+b+1}$

$\frac{b}{a+c+1}\leq \frac{b}{a+b+1}$

$\Rightarrow \frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{a+b+1}+\frac{c}{a+b+1}+\frac{1-c}{a+b+1}=1$

score 3 · Answer 3

bài này bạn viết sai đề rồi nhá! phải là $(\frac{1}{a^2}+1)(\frac{1}{b^2}+2)(\frac{1}{c^2}+8)$

Vì $a;b;c$ là các số dương áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$\frac{1}{a^2}+1\geq \frac{2}{a},\frac{1}{b^2}+2\geq \frac{2\sqrt{2}}{b},\frac{1}{c^2}+8\geq \frac{4\sqrt{2}}{c}$

$\Rightarrow (\frac{1}{a^2}+1)(\frac{1}{b^2}+2)(\frac{1}{c^2}+8)\geq \frac{2}{a}.\frac{2\sqrt{2}}{b}.\frac{4\sqrt{2}}{c}=\frac{32}{abc}$

$\Rightarrow (\frac{1}{a^2}+1)(\frac{1}{b^2}+2)(\frac{1}{c^2+8})=\frac{32}{abc}\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{1}{a^2}=1 \\ \frac{1}{b^2}=2 \\\frac{1}{c^2}=8\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=1 \\ b=\frac{\sqrt{2}}{2} \\c=\frac{\sqrt{2}}{4}\end{cases}$