Đk: $-1\leq x\leq \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$
Pt $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x^2-x+2}}{1+\sqrt{4-(x^2-x+2)}}-\frac{\sqrt{x^2+x}}{1+\sqrt{4-(x^2+x)}}=x^2-1$$\Leftrightarrow f(x^2-x+2)-f(x^2+x)=x^2-1(*)$
Xét hàm số $f(t)=\frac{\sqrt{t}}{1+\sqrt{4-t}}$ trên đoạn [0;4] có:
$f'(t)=(\frac{1+\sqrt{4-t}}{2\sqrt{t}}+\frac{\sqrt{t}}{2\sqrt{4-t}}).\frac{1}{(1+\sqrt{4-t})^2}>0,\forall t\in (0;4)$
$\Rightarrow $Hàm số đồng biến trên đoạn [0;4]
- Nếu $x\in [-1;1)\Rightarrow \begin{cases}x^2-x+2>x^2+x \\ x^2-1<0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}f(x^2-x+2)-f(x^2+x)>0 \\ x^2-1<0 \end{cases}$
$\Rightarrow (*)$ vô nghiệm trên nửa khoảng $x \in [-1;1)$
- Nếu $x\in (1;\frac{-1+\sqrt{17}}{2}]\Rightarrow \begin{cases}x^2-x+2<x^2+x \\ x^2-1>0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}f(x^2-x+2-f(x^2+x)<0 \\ x^2-1>0 \end{cases}$
$\Rightarrow (*)$vô nghiệm trên nửa khoảng $x\in (1;\frac{-1+\sqrt{17}}{2}]$
- Thử $x=1$ thì thỏa $\Rightarrow x=1$ là nghiệm duy nhất