Thầy troll trò bằng mấy cái này đây

Question

Cho

$a;b;c;d$ dương, chứng minh:

a)

$\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c}\geq \frac{2}{3}$

b)

$\frac{a^{3}}{b+c+d}+\frac{b^{3}}{a+c+d}+\frac{c^{3}}{a+b+d}+\frac{d^{3}}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}$

๖ۣۜDevilღ · Answer 1 · 2/4/2015 11:00:26 PM

Nếu anh nhớ không nhầm thì câu b còn điều kiện

$ab+bc+cd+da=1$ nữa nhá

Áp Dụng BĐT AM-GM ta có

$\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{18}+\frac{a}{6}+\frac{1}{12}\geq \frac{2}{3}a$

tương tự rồi cộng lại ta được

$\sum_{}^{} \frac{a^3}{b+c+d}+\frac{a+b+c+d}{3}+\frac{1}{3}\geq \frac{2}{3}\left ( a+b+c+d \right )$

$\Rightarrow \sum_{}^{} \frac{a^3}{b+c+d}\geq \frac{a+b+c+d}{3}-\frac{1}{3}$

mà theo giả thiết thì

$ab+bc+cd+da=1 \Rightarrow 1=(a+c)(b+d) \Rightarrow 4=4(a+c)(b+d)\leq \left ( a+b+c+d \right )^2 \Rightarrow a+b+c+d \geq 2$

$\Rightarrow \sum_{}^{}\frac{a^3}{b+c+d}\geq \frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$

$OK$

đẳng thức xẩy ra

$\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{2}$

1 Đáp án