Mời mọi người

Question

lâu lâu đăng bài cho cả nhà vui

Cho

$3$ số dương

$a;b;c$ có tổng bằng

$1.$

$CMR:\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac1{ab}+\frac1{bc}+\frac1{ca}\geq30$

Cái bài hư cấu cho x y z=1 kêu chứng minh a,b,c.......FICTION

buivantoan2001 · Answer 1 · 8/20/2015 10:29:06 AM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Ta có:

$VT\geq \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+c}=(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca})+\frac{7}{ab+bc+ca}\geq (\frac{9}{(a+b+c)^2})+\frac{21}{3ab+3bc+3ca}\geq \frac{9}{1^2}+\frac{21}{(a+b+c)^2}=9+21=30$

=>ĐPCM

Đẳng thức xảy ra

$<=> a=b=c=\frac{1}{3}$

Trả lời 20-08-15 10:29 AM

buivantoan2001
1

23K 20K

tran85295 · Answer 2 · 8/19/2015 4:16:36 PM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Áp dụng bđt cauchy-schwarz

VT

$=(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+\frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ca})+(\frac{2}{3ab}+\frac{2}{3bc}+\frac{2}{3ca})$

$\geq\frac{(1+1+1+1)^2}{a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ca}+\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{2})^2}{3ab+3bc+3ca}$

$=\frac{16}{(a+b+c)^2+ab+bc+ca}+\frac{18}{3(ab+bc+ca)}$

$\geq\frac{16}{(a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}}+\frac{18}{(a+b+c)^2}=12+18=30$

Dấu

$=$ xảy ra khi

$a=b=c=\frac{1}{3}$

Trả lời 19-08-15 04:16 PM

tran85295
1

10M 559K

★★.P.I.N.O.★★ · Answer 3 · 8/19/2015 4:12:49 PM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Áp dụng bđt Bunhiacốpski, ta có:

$(\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{\sqrt{ab}}.3\sqrt{ab}+\frac{1}{\sqrt{bc}}.3\sqrt{bc}+\frac{1}{\sqrt{ca}}.\sqrt{ca})^2$

$\leq(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})(a^2+b^2+c^2+9ab+9bc+9ca)$

$\Rightarrow(1+3+3+3)^2 \leq (\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})[(a+b+c)^2+7(ab+bc+ca)]$

$\Rightarrow100\leq (\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})[(a+b+c)^2+\frac{7(a+b+c)^2}{3}$ ]

$\Rightarrow100 \leq(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}).\frac{10}{3}$ (do

$a+b+c=1$ )

$\color{red}{\Rightarrow\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq 30}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

$\color{red}{a=b=c=\frac{1}{3}.}$

lịch sử

Sửa 19-08-15 04:12 PM

★★.P.I.N.O.★★
1

2M 4M

Trả lời 19-08-15 12:46 AM

tran85295
1

10M 559K

cách ở trên dc hok? – tran85295 19-08-15 04:21 PM

Bài này sách BĐT nào cũng có viết, còn một cách khác hay hơn nữa... – ★★.P.I.N.O.★★ 19-08-15 04:14 PM

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1/3 – tran85295 19-08-15 12:54 AM

Hỏi	18-08-15 11:49 PM
Lượt xem	1960
Hoạt động	20-08-15 11:27 PM

Mời mọi người

3 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Mời mọi người

3 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan