Bất đẳng thức hay+nhiều cách giải

Question

CMR: $a,b,c>0$ thì :
$\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$
Có đến không biết bao nhiêu cách các bạn cố gắng tìm hiểu hết nha.

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ · Answer 1 · 11/18/2015 9:27:14 PM

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

cách 4

$\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{b^{2}}\frac{a^{2}}{b^{2}}\frac{b}{a}}=3\frac{a}b$

$\frac{a^{2}}{a^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{a}{b}\ge3\sqrt[3]{\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{a}{b}}=3\frac{b}a$

$\Rightarrow 2(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}})+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})$

$\Leftrightarrow\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

Trả lời 18-11-15 09:27 PM

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
1

10M 1M

lúc nào rảnh có thể gõ thêm từ 5-6 cách khác – ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 18-11-15 09:32 PM

bạn thần thoại có hứng nhể – 111aze 18-11-15 09:31 PM

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ · Answer 2 · 11/18/2015 9:21:58 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Cách 1

Đặt $t=\frac{a}b+\frac{b}a\geq 2\sqrt{\frac{a}b.\frac{b}a}=2$

$\Rightarrow t^2=\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2$

$\Rightarrow BĐT \Leftrightarrow t^2-2\ge t\Leftrightarrow (t-1)(t-2)\ge 0$ (luôn đúng với $t\ge2$)

Cách 2

$\frac{a^2}{b^2}+1\ge 2\frac{a}b$

$\frac{b^2}{a^2}+1\ge 2\frac{b}a$

$\Rightarrow \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2\ge \frac{a}b+\frac{b}a+\frac{a}b+\frac{b}a\geq \frac{a}b+\frac{b}a+2 $

$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

Cách 3

BĐT $\Leftrightarrow a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+b^2)\ge0$ (luôn đúng)

Trả lời 18-11-15 09:21 PM

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
1

10M 1M

tran85295 · Answer 3 · 11/18/2015 10:48:56 PM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Cách 6

Ta có $(\frac{a^2}{b^2}+1)+(\frac{b^2}{a^2}+1)\geq 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})$

$\Leftrightarrow \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}a+(\frac{a}{b}+\frac{b}a-2)\geq \frac{a}{b}+\frac{b}a+(2-2)\geq \frac{a}{b}+\frac{b}a$

Trả lời 18-11-15 10:48 PM

tran85295
1

10M 559K

tran85295 · Answer 4 · 11/18/2015 10:45:37 PM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Cách 5

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\overset{Schwarz}{\ge} \frac{(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2}{2}=\frac{(\frac{a^2}{b^2}+1)+(\frac{b^2}{a^2}+1)}{2} \overset{AM-GM}{\ge} \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

Trả lời 18-11-15 10:45 PM

tran85295
1

10M 559K

score 0 · Answer 5

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Cách đầu tiên, cách dễ hiểu nhất

$\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}}$, là tổng bình phương ( không phải là bình phương tổng nha ) của vế còn lại nêm chắn vế này lớn hơn. Còn các cách khác thì để từ từ, còn 2 cách nữa e sẽ cố nghĩ nốt, chắc mấy bài này a làm đc hết rồi đúng không

Bạn học thế này là bằng trình độ hsg trên này rồi đó, tuj đi thi mà kết quả như cứt. Tái bút: Cái ĐT tui hỏi bạn là cái bạn viết tắt ở phần dwois kìa, ko phải số ĐT đâu, vs cả BVT, VHB là j, viết hộ ra đi, cứ chơi đuổi hình bắt chữ thế này mệt quá – hieuprodzai1812 18-11-15 10:07 PM

Có 2 điều tớ muốn hỏi cậu:1. Cậu có có ở HN ko(Tớ ở HN), nếu ko thì ở đâu?2. ĐT là j(-_-)3. cậu học giỏi toán vl, cậu có bí quyết nào ko? – hieuprodzai1812 18-11-15 09:54 PM

Học trường j mà giỏi vậy – hieuprodzai1812 18-11-15 09:44 PM

e mới lớp 9 à – hieuprodzai1812 18-11-15 09:39 PM

score 7 · Answer 6

Bình chọn tăng 7 Bình chọn giảm

Sau đây là 1 đáp án:

$\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}= \frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}b^{2}}=\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2a^{2}b^{2}}=\frac{(a^{2}+b^{2})(a^{2}+b^{2})}{2a^{2}b^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})2ab}{2a^{2}b^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\Leftrightarrow Đpcm.$

lịch sử