Gọi $x$ là nghiệm dương của phương trình $2x^3+7x^2-8=0$
$\Rightarrow \frac{1}{x+2}+ \frac 1{x+4}+\frac 1{x+1}=\frac 1x$Ta có $$(x+2)a^2+(x+4)b^2+(x+1)c^2$$
$$=\frac{a^2}{\frac{1}{x+2}}+\frac{b^2}{\frac{1}{x+4}}+\frac{c^2}{\frac{1}{x+1}}$$
$$ \ge \frac{(a+b+c)^2}{\frac{1}{x+2}+ \frac 1{x+4}+\frac 1{x+1}}=x(a+b+c)^2$$
$\Leftrightarrow 2a^2+4b^2+c^2 \ge 2x(ab+bc+ca)=10x$