Như đã biết $a^2+ab+b^2>0,\forall a,b\in R$ và $a^2 + b^2\neq 0$.Với nhận xét trên, có thể thể giải theo cách sau.
Giả sử $(*)$ là phương trình phải giải.
Nhận ra rằng $x=-1$ không phải nghiệm phương trình.
Xét trường hợp $x\neq -1$. Để đơn giản thì gán $t:=\sqrt[3]{5x^2+12x-9}$. Khi đó có
$(*)\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)+[(x+1)-t]=0$
$\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)+\frac{x^3-2x^2-9x+10}{(x+1)^2+(x+1)t+t^2}=0$ (vì $x\neq -1$ nên theo nhận xét trên thì có $(x+1)^2+(x+1)t+t^2>0$)
$\Leftrightarrow (x^3-2x^2-9x+10)[1+\frac{1}{(x+1)^2+(x+1)t+t^2}]=0$
$\Leftrightarrow x^3-2x^2-9x+10=0$ (vì biểu thức trong ngoặc vuông là dương).
$\Leftrightarrow x=1\vee x=\frac{1+\sqrt{41}}{2}\vee x=\frac{1-\sqrt{41}}{2}$.
Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện đang xét.