Giả sử $sinx = u$ và $cosx = v$.
Như đã biết $|sinx - cosx| \leq \sqrt{2}<\frac{\Pi }{2}$ và $|sinx + cosx| \leq \sqrt{2}<\frac{\Pi }{2}$.
Suy ra $|u - v|<\frac{\Pi }{2}$ và $|u + v|<\frac{\Pi }{2}$.
Cho nên $ -\frac{\Pi }{2}<u - v < \frac{\Pi }{2}$ (1) và $ -\frac{\Pi }{2}<u + v < \frac{\Pi }{2}$ (2). .
Từ đó suy ra
$cos(sinx) - sin(cosx) =cos(u) - sin(v)$
$=sin(\frac{\Pi }{2}-u) - sin(v)$
$=2cos(\frac{\Pi }{4}-\frac{u-v}{2})sin(\frac{\Pi }{4}-\frac{u+v}{2})$.
Vì (1) nên $0< \frac{\Pi }{4}-\frac{u-v}{2} < \frac{\Pi }{2}$; suy ra $cos(\frac{\Pi }{4}-\frac{u-v}{2})>0$.
Vì (2) nên $0< \frac{\Pi }{4}-\frac{u+v}{2} < \frac{\Pi }{2}$. Suy ra $sin(\frac{\Pi }{4}-\frac{u+v}{2})>0$.
Do đó $2cos(\frac{\Pi }{4}-\frac{u-v}{2})sin(\frac{\Pi }{4}-\frac{u+v}{2}) > 0$. Suy ra $cos(sinx) > sin(cosx)$