cm cái này bằng qui nạp hoặc bunhia cũng được:$a, b \in R^{+},n\in N^{*}$ thì $\frac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{n}$áp dụng:
$\frac{1}{2}(\sqrt[n]{\sin A}+\sqrt[n]{\sin B})\leq \sqrt[n]{\frac{\sin A+\sin B}{2}}$
$\leq \sqrt[n]{\sin \frac{A+B}{2}.\cos \frac{A-B}{2}}$
$\leq \sqrt[n]{\cos \frac{C}{2}}$
tương tự với những cái còn lại rồi cộng bọn chúng lại với nhau ta được cái $VT$ nó $\leq 1$
nên gt$\Leftrightarrow $ dấu bằng xảy ra
hay $A=B=C$.....tam giác $ABC$ đều