làm bằng nhiều cách $_$

Question

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}$

Trái tim băng · Answer 1 · 4/22/2016 11:29:27 AM

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

Áp dụng BDT Côsi ta có: 1

a 2 + 2 b 2 + 3 = 1 a 2 + b 2 + b 2 + 1 + 2 \leq 1 2 a b + 2 b + 2

Tương tự ta có:

1 b 2 + 2 c 2 + 3 \leq 1 2 b c + 2 c + 2

1 c 2 + 2 a 2 + 3 \leq 1 2 a c + 2 a + 2

Công lại ta được:

P \leq 1 2 (1 a b + b + 1 + 1 b c + c + 1 + 1 a c + a + 1)

= 1 2 (c 1 + b c + c + 1 b c + c + 1 + b c c + 1 + b c) = 1 2 (1 + b c + c 1 + c + b c) = 1 2 (Do abc=1)

Dấu "=" xảy ra khi

a=b=c=1

1 a 2 + 2 b 2 + 3 = 1 a 2 + b 2 + b 2 + 1 + 2 \leq 1 2 a b + 2 b + 2 Tương tự ta có: 1 b 2 + 2 c 2 + 3 \leq 1 2 b c + 2 c + 2 1 c 2 + 2 a 2 + 3 \leq 1 2 a c + 2 a + 2 Công lại ta được: P \leq 1 2 (1 a b + b + 1 + 1 b c + c + 1 + 1 a c + a + 1) = 1 2 (c 1 + b c + c + 1 b c + c + 1 + b c c + 1 + b c) = 1 2 (1 + b c + c 1 + c + b c) = 1 2 (Do abc=1) Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1

Trả lời 22-04-16 11:29 AM

Trái tim băng
1

22K 9K

Hỏi	22-04-16 10:28 AM
Lượt xem	1303
Hoạt động	22-04-16 11:29 AM

làm bằng nhiều cách $_$

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

làm bằng nhiều cách $_$

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan