cho $x,y,z$ là các số thực thuộc $\left[0 {;} 1\right]$ thỏa mãn $\frac{1}{4x+5}+\frac{2}{4y+5}+\frac{3}{4z+5}=1$

Question

cho

$x,y,z$ là các số thực thuộc

$\left[0 {;} 1\right]$ thỏa mãn

$\frac{1}{4x+5}+\frac{2}{4y+5}+\frac{3}{4z+5}=1$

tìm

$Max$ : P=

$xy^{2}z^{3}$

Bloody's Rose · Answer 1 · 5/24/2016 10:17:58 AM

Bình chọn tăng 17 Bình chọn giảm

Cách này hơi dài...

gt

$\Rightarrow\frac{4x}{5};\frac{4y}{5};\frac{4z}{5}\epsilon \left[ {0;1} \right]$

$\Rightarrow A=\frac{1}{\frac{4x}{5}+1}+\frac{2}{\frac{4y}{5}+1}+\frac{3}{\frac{4z}{5}+1}=5$

Use BĐT:

$\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\leq \frac{2}{1+ab}$

Mở rộng với 3 biến

$a,b,c\epsilon \left[ {0;1} \right]$ :

$\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\leq \frac{3}{1+abc}$

$\Rightarrow \frac{1}{\frac{4x}{5}+1}+\frac{1}{\frac{4y}{5}+1}\leq \frac{2}{1+\frac{4}{5}\sqrt{xy}}$ (1)

$\frac{1}{\frac{4y}{5}+1}+\frac{1}{\frac{4z}{5}+1}\leq \frac{2}{1+\frac{4}{5}\sqrt{yz}}$ (2)

$\frac{2}{\frac{4z}{5}+1}+\frac{2}{\frac{4}{5}\sqrt{xy}+1}+\frac{2}{1+\frac{4}{5}\sqrt{yz}}\leq2.\frac{3}{1+\frac{4}{5}\sqrt[3]{z.\sqrt{xy}.\sqrt{yz}}}=\frac{6}{1+\frac{4}{5}\sqrt[6]{xy^{2}z^{3}}}$ (3)

Từ(1)(2)(3)

$\Rightarrow A\leq \frac{6}{1+\frac{4}{5}\sqrt[6]{xy^{2}z^{3}}}\Rightarrow P\leq (\frac{1}{4})^{6}$

Dấu''='' xra

$\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{4}$

Trả lời 24-05-16 10:17 AM

Bloody's Rose
224 3

142K 705K

mở rộng CM như CM cô si 3 số thôi – ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 24-05-16 10:22 PM

để chứng minh được cái mở rộng kia khá mệt đấy – Gay 24-05-16 03:32 PM

hay ............. – Sao Hỏa 24-05-16 01:38 PM

Hỏi	23-05-16 10:29 PM
Lượt xem	1515
Hoạt động	21-08-16 02:42 PM

cho $x,y,z$ là các số thực thuộc $\left[0 {;} 1\right]$ thỏa mãn $\frac{1}{4x+5}+\frac{2}{4y+5}+\frac{3}{4z+5}=1$

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

cho x,y,zx,y,z là các số thực thuộc [0;1]\left[0 {;} 1\right] thỏa mãn 14x+5+24y+5+34z+5=1\frac{1}{4x+5}+\frac{2}{4y+5}+\frac{3}{4z+5}=1

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan

cho $x,y,z$ là các số thực thuộc $\left[0 {;} 1\right]$ thỏa mãn $\frac{1}{4x+5}+\frac{2}{4y+5}+\frac{3}{4z+5}=1$