Giả sử $z'=a+bi$ với $a,b\in R$.Điều kiện để $z'$ là một căn bậc hai của $z$ là $(z')^{2}=z$,
hay $(a+bi)^2=-i$,
hay $a^2-b^2+2abi=-i$,
suy ra $a^2-b^2=0\wedge 2ab=-1$.
Giải hệ này được $(a;b)=(\frac{1}{\sqrt{2}};-\frac{1}{\sqrt{2}})$ hoặc $(a;b)=(-\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}})$.
Vậy $z$ có hai căn bậc hai, đó là $z'=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i$ hoặc $z'=-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i$.