Hình 8

Question

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. E $\epsilon$ BC. E $\neq$ B, C. Gọi H, F lần lượt là hình chiếu của E xuống AB, AC. Gọi K là giao điểm CH, BF. CM: Đường thẳng EK luôn đi qua 1 điểm cố định khi E di chuyển trên BC.

Devil · Answer 1 · 7/2/2016 9:25:54 AM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Vẽ hình chữ nhật ABDC

FE cắt BD tại I; BC cắt DF tại M

$Δ B H E \sim Δ E F C (g - g) \Rightarrow \frac{E F}{H B} = \frac{F C}{H E} \Leftrightarrow E F . H E = H B . F C$

Áp dụng định lí Menelaus vào $Δ B A F$ với cát tuyến CKH ta có:

$\frac{K B}{K F} . \frac{C F}{C A} . \frac{H A}{H B} = 1 \Leftrightarrow \frac{F K}{K B} = \frac{C F . H A}{C A . H B}$

$Δ F B D$ có:

$\frac{D M}{M F} . \frac{K F}{K B} . \frac{I B}{I D} = \frac{B D}{F C} . \frac{C F . H A}{C A . H B} . \frac{I B}{I D} = \frac{E F}{H B} . \frac{H E}{F C} = 1$