Bài này khá là vui:Đặt $I=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \frac{1}{2+\sqrt{3}sin(x)-cos(x)}dx$
$=\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \frac{1}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}sin(x)-\frac{1}{2}cos(x)}dx$
$=\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \frac{1}{1+sin(x-\frac{\pi}{6})}dx$.
Do $\frac{\pi}{3}\le x\le \pi$ nên $sin(x-\frac{\pi}{6}),cos(x-\frac{\pi}{6})>0$.
Đặt $t=sin(x-\frac{\pi}{6})\implies dt=cos(x-\frac{\pi}{6})dx=\sqrt{1-t^2}dx$.
Đổi cận: $x=\pi\implies t=\frac{1}{2};x=\frac{\pi}{3}\implies t=\frac{1}{2}$.
$\implies I=\frac{1}{2}\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{dt}{(1+t)\sqrt{1-t^2}}=0$
(Do hai cận trên và dưới có giá trị bằng nhau).