Cách khác nhé!
Đặt vế trái là A
Do vế trái là hàm thuần nhất nên ta chuẩn hóa : $a+b+c=3$
$A=\sum \frac{a^2}{2bc} + \sum \frac{a^2+b^2}{c^2+ab} = \sum \frac{a^2}{2bc}+ \sum a^2. (\frac{1}{c^2+ab}+\frac{1}{b^2+ca})$
Ta có : $a^2. (\frac{1}{c^2+ab}+\frac{1}{b^2+ca}) \geq \frac{4a^2}{b^2+c^2+ab+ca}=\frac{4a^2}{b^2+c^2+b.(3-b-c)+c(3-b-c)}$
$a^2. (\frac{1}{c^2+ab}+\frac{1}{b^2+ca}) \geq \frac{4a^2}{3b+3c-2bc}$
Ta lại có : $\frac{a^2}{2bc}+a^2.(\frac{1}{c^2+ab}+\frac{1}{b^2+ac}) \geq \frac{a^2}{2bc}+\frac{4a^2}{3b+3c-2bc} \geq a^2. \frac{(1+2)^2}{3b+3c} = \frac{9a^2}{3(b+c)}= \frac{3a^2}{b+c}$
Do đó: $\frac{a^2}{2bc}+a^2. (\frac{1}{c^2+ab}+\frac{1}{b^2+ca}) \geq \frac{3a^2}{b+c}$
$\Rightarrow VT \geq \sum \frac{3a^2}{b+c} \geq \frac{3.(a+b+c)^2}{2.(a+b+c)}=\frac{9}{2}$ (Theo bất đẳng thức $Cauchy-SChwart$ và $a+b+c=3$ theo chuẩn hóa)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu bằng khi $a=b=c$