Áp dụng $\frac{1}{k+1}C^{k}_{n} = \frac{1}{n+1}C^{k+1}_{n+1} $ ( chứng minh tách hết ra) . Ta có:
$ \frac{2^{6}}{1}C^{0}_{6} = \frac{2^{6}}{7}C^{1}_{7}$
$\frac{2^5}{2}C_6^1=\frac {2^5}7.C_7^2 $
$\frac {2^4}3C_6^2=\frac {2^4}7C_7^3$
$...$
$\frac 26C_6^5=\frac{2}7C_7^6$
$\frac 17C_6^6=\frac 17.C_7^7$
Tương tự cộng lại suy ra tổng $S=\frac 17\left( 2^6C_7^1+2^5C_7^2+...+2^0C_7^7\right)=\frac 17\left[(2+1)^7-2^7.C_7^0\right]=\frac{2059}7$